傅里叶变换、拉普拉斯变换、幺正变换在实际应用中的区别和联系

傅里叶变换是频谱方向的幺正变换；

拉普拉斯变换是带收敛权重的傅里叶变换，专攻初值问题；

幺正变换是最广义的正交旋转，傅里叶变换只是它的一个具体化身。

下面用一张“三维坐标系”来同时安放傅里叶变换（FT）、拉普拉斯变换（LT）和幺正变换（UT）：

x 轴：定义域（时间/频率/复平面/希尔伯特空间）

y 轴：目标（解方程 / 压缩信息 / 改变表象 / 量子演化）

z 轴：数学结构（积分核、谱分解、群表明）

把三条轴上的关键坐标写出来，区别与联系就一目了然。

1. 傅里叶变换（FT）

数学定义

  F(ω)=∫{-∞}^{+∞} f(t) e^{-iωt} dt

  f(t)=1/(2π) ∫{-∞}^{+∞} F(ω) e^{iωt} dω

几何本质

  把 L²(ℝ) 上函数分解到平面波基底 {e^{iωt}}；这是 连续谱的幺正对角化。

  FT 本身是幺正算子（Plancherel 定理：‖f‖₂ = ‖F‖₂）。

主要用途

 微分 → 乘法：d/dt → iω，常系数 ODE/PDE 变代数方程。

 频谱分析、信号压缩（JPEG、MP3）。

 量子力学：动量表象 ↔ 坐标表象的 幺正变换（x̂ ↔ p̂ 的对偶空间旋转）。

局限

 只能处理 t ∈ (-∞,∞)；

 不直接给出指数增长信号；

 初值问题需人工引入边界条件。

2. 拉普拉斯变换（LT）

数学定义（单边）

s=σ+iω ∈ ℂ

几何本质

  把函数空间 L¹_loc(ℝ₊) 嵌入 Hardy 空间；

  核 e^{-st} 含衰减因子 e^{-σt}，因此 自动消化指数增长，把微分算子 s 化。

主要用途

 初值问题一步到位：Ly′+Ry = E(t) → (Ls+R)Y(s)=E(s)+Ly(0)。

 控制理论：传递函数 G(s)=Y(s)/U(s)；极点分析稳定性。

 电路、机械系统的瞬态响应。

与 FT 的关系

 LT 沿虚轴 s=iω 退化为 FT（要求 f 指数衰减）；

 LT 是 FT 的解析延拓 + 加权版本；

 FT 是纯虚轴上的 LT 截面。

3. 幺正变换（UT）

数学定义

  U: ℋ → ℋ，满足 U†U = UU† = I（保内积、保范数）。

  谱定理：任何幺正算子可写成 U = ∫{0}^{2π} e^{iθ} dE_θ，其中 {E_θ} 是谱族。

几何本质

  希尔伯特空间中的刚性旋转；不改变向量长度，只改变基底。

典型实例

 量子力学：时间演化 U(t)=e^{-iHt/ħ}（薛定绘景）。

 量子计算：单比特门 X,Y,Z, Hadamard, 相位门都是 2×2 幺正矩阵。

 傅里叶变换：FT 在 L²(ℝ) 上是幺正算子（可视为连续谱极限的 DFT）。

 正交基旋转：如坐标旋转矩阵、离散余弦变换（JPEG）。

与 FT/LT 的联系

 FT 本身就是连续谱极限下的幺正变换；

 DFT 的 N×N 矩阵是有限维幺正矩阵（除 1/√N 归一化因子）；

 LT 不幺正（改变范数：∫|f|² ≠ ∫|F|²），但可视为加权希尔伯特空间上的有界算子。

4. 一张对照表