模型选择&过拟合和欠拟合

（一）模型选择

举个例子：预测谁能够还贷款？

得到100个人的信息，其中有5个人在过去的三年内违约了。

惊讶的发现：发现这五个人都穿了蓝色的衬衫。模型也发现了。但是这个特征实则并不是一个有效的信息。由于衣服的颜色实在没什么说服力。

为了进一步讨论这一现象，我们需要了解训练误差和泛化误差。
训练误差（training error）是指，
模型在训练数据集上计算得到的误差。
泛化误差（generalization error）是指，
模型应用在同样从原始样本的分布中抽取的无限多数据样本时，模型误差的期望。

举个例子：根据模考成绩预测未来的考试分数

在过去考试中表现得很好（训练误差），不代表未来考试必定会好（泛化误差）

• 学生A直接把题库背下来了，对了99%
• 学生B是通过自己的分析做对了80%

怎么解决这个问题？
使用两种数据集：验证数据集和测试数据集。
验证集：一个用来评估模型的好坏的数据集

• 例如从训练聚焦拿出50%，作为验证集。
• 不要和训练集混在一起。
  测试数据集：只用一次的数据集
• 未来的考试。
• 模型从来没见到过的数据集。

上面说到拿训练集的50%出来作为验证集，可是要是我本来的训练集就少得可怜，你居然还要拿走一半！那我咋训练？（这是常态）
这时候除了数据增强以外可以使用K-则交叉验证
算法：

• 把训练集分割成 K 块。
• 然后for i in [0,1,…, K)循环，每次第i块作为验证集，其余的k-1块作为训练集。
• 计算K次验证集上的平均误差
  常把K设置成 5 或者 10 .

（二）过拟合和欠拟合

过拟合：我的模型学习的太过了，遇到新的给整不会了。或者说这个庞大的网络直接把你的答案都记住了。
过拟合：模型太小，数据中的有些特征没有学习到。

模型容量（拟合各种函数的能力）

• 低容量的模型难以拟合训练数据
• 高容量的模型可以记住所有的训练数据

VC维

• 统计学习理论中的一个核心思想
• 对于一个分类模型，VC等于一个最大的数据集的大小，不管如何给定标号，都存在一个模型来对它进行完美的分类
• 二维输入的感知机，VC维=3；能够分类任何三个点，但是不能分类四个（xor）
• 支持n为输入的感知机的VC是N+1
• 一些多层感知机的VC维

它提供的是一个理论依据，可以衡量训练误差和泛化误差之间的间隔。但是在深度学习中很少使用，缘由有两个：（1）衡量不准确（2）计算深度学习的VC很困难。

（三）代码实现

通过多项式分布来拟合交互的探索这些概念
这里只是模拟一下三种不同的情况。如果代码读不懂也没关系。

import math
import numpy as np
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

max_degree = 20
n_train, n_test = 100,100
true_w = np.zeros(max_degree)
true_w[0:4] = np.array([5,1.2,-3.4,5.6])

print(true_w.shape)

# 这里是加噪音环节，不重大
features = np.random.normal(size=(n_train + n_test, 1))
np.random.shuffle(features)
poly_features = np.power(features, np.arange(max_degree).reshape(1, -1))
for i in range(max_degree):
    poly_features[:, i] /= math.gamma(i + 1)  # gamma(n)=(n-1)!
# labels的维度:(n_train+n_test,)
labels = np.dot(poly_features, true_w)
labels += np.random.normal(scale=0.1, size=labels.shape)

# NumPy ndarray转换为tensor
true_w, features, poly_features, labels = [torch.tensor(x, dtype=
    torch.float32) for x in [true_w, features, poly_features, labels]]

def evaluate_loss(net, data_iter, loss):  #@save
    """评估给定数据集上模型的损失"""
    metric = d2l.Accumulator(2)  # 损失的总和,样本数量
    for X, y in data_iter:
        out = net(X)
        y = y.reshape(out.shape)
        l = loss(out, y)
        metric.add(l.sum(), l.numel())
    return metric[0] / metric[1]

def train(train_features, test_features, train_labels, test_labels,
          num_epochs=400):
    loss = nn.MSELoss(reduction= none )
    input_shape = train_features.shape[-1]
    # 不设置偏置，由于我们已经在多项式中实现了它
    net = nn.Sequential(nn.Linear(input_shape, 1, bias=False))
    batch_size = min(10, train_labels.shape[0])
    train_iter = d2l.load_array((train_features, train_labels.reshape(-1,1)),
                                batch_size)
    test_iter = d2l.load_array((test_features, test_labels.reshape(-1,1)),
                               batch_size, is_train=False)
    trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.01)
    animator = d2l.Animator(xlabel= epoch , ylabel= loss , yscale= log ,
                            xlim=[1, num_epochs], ylim=[1e-3, 1e2],
                            legend=[ train ,  test ])
    for epoch in range(num_epochs):
        d2l.train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, trainer)
        if epoch == 0 or (epoch + 1) % 20 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print( weight: , net[0].weight.data.numpy())

# 从多项式特征中选择前4个维度，即1,x,x^2/2!,x^3/3!
train(poly_features[:n_train, :4], poly_features[n_train:, :4],
      labels[:n_train], labels[n_train:])

# 从多项式特征中选择前2个维度，即1和x
train(poly_features[:n_train, :2], poly_features[n_train:, :2],
      labels[:n_train], labels[n_train:])

# 从多项式特征中选取所有维度
train(poly_features[:n_train, :], poly_features[n_train:, :],
      labels[:n_train], labels[n_train:], num_epochs=1500)